不可勝數

測謊裡的機率

準確度的定義涉及條件機率,其中大有文章。

撰文/黃文璋

不可勝數

測謊裡的機率

準確度的定義涉及條件機率,其中大有文章。

撰文/黃文璋


某家公司一項重要業務機密外洩,因無人承認,安全主管就提議以測謊來找出洩密者。公司員工紛紛緊張起來,安全主管卻不以為然,他認為如果沒洩密,何必擔心?抗拒測謊,顯然心虛。但真的如此嗎?


測謊機的準確度有多高?不妨先以九成計。假設共有100人經手該項業務,且其中僅1人洩密。因測謊機不準的機率為0.1,經測謊後,無辜的99人中平均有9.9人會顯示洩密;而唯一的洩密者有0.9的機率被測出,有0.1的機率不會,即平均有0.9人顯示洩密。所以100人測謊完畢後,平均共有10.8(9.9+0.9)人顯示洩密。也就是被認為可疑者平均有10.8人,但其中平均僅有0.9人洩密,代表洩密者還不見得在其中。經測謊後,每一位可疑者只有0.9/10.8(1/12)的機率是洩密的人。


此機率才約0.083,與一開始宣稱測謊的準確度高達九成,落差很大。更不要說,有時真正犯罪者經驗豐富,比較能躲過測謊;有些無辜者較易緊張,反而無法通過,那誤差就更大。因此測謊的效果絕不可高估。至於如果洩密者並非那100位經手業務的人,反而是經由其他管道,則100位都沒洩密者,經測謊將產生約10位無辜的可疑者,屆時恐難以收場。再來,如果測謊機的準確度沒有九成那麼高,例如只有八成,那就更令人擔憂。因測謊後,每一位可疑者只有0.8/20.6洩密,即機率約0.034。


由機率0.9降至0.083,因為這涉及條件機率。準確度0.9的意思是,P(顯示洩密|實際洩密)=0.9,及P(顯示未洩密|實際未洩密)=0.9。但受測者更關心的並非上述條件機率,而是另一條件機率P(實際洩密|顯示洩密),正是我們剛求出的那一不大的機率值0.083。要知機率值會改變是機率特性,人們平常做判斷也是如此;獲知某資訊(新條件)後,判斷的機率值可能改變。有敲門聲是男是女?若沒有其他資訊,男女的機率大抵各為1/2。但聽到像是穿著高根鞋的腳步聲走近,則大概會猜八成是女性。即對兩事件A與B,給定B之下,A的條件機率P(A|B)不一定等於P(A)。而且P(A|B)與P(B|A)的值,也可能差異很大。


有人可能好奇,牽涉到受測者的權益,當然該重視P(實際洩密|顯示洩密),那P(實際未洩密|顯示未洩密)又是多少?在測謊機準確度九成下,仿前述做法,可得此機率=(99×9.9)/(99×0.9+1×0.1)=89.1/89.2,很接近1。那是否表示測謊對未洩密者的偵測較可靠?並不盡然。直觀上,此條件機率應該很大。因為全部100人中有高達99%未洩密,所以不論如何把這100人分類,任一類中本來就有很高的比例屬於未洩密者。甚至,就算測謊機準確度低到一成,此時P(實際洩密|顯示洩密)會更低,為0.1/89.2,即約只有0.0011;至於P(實際未洩密|顯示未洩密)則等於9.9/10.8,仍高達約0.92。


由上述測謊裡的機率可以理解,對發生機率較小的事件,凡涉及條件機率,都得謹慎處理。否則例如罕見疾病,看似準確度高的檢測儀器,誤判率卻可能超乎想像的高。再舉一例,某家公司有一萬名員工,年終尾牙頭獎是一輛價值百萬元的汽車。假設M君中了頭獎,該懷疑他作弊嗎?因P(M君中頭獎|M君沒作弊)=0.0001,機率相當低。若僅是這樣就懷疑,那肯定經常疑神疑鬼。事實上,任一人抽中頭獎的機率,雖才萬分之一,但因為有一萬人參與抽獎,有人抽中頭獎,乃屬必然。另一方面,從M君的角度,要讓他心服有作弊嫌疑、接受調查,必須是P(M君沒作弊|M君中頭獎)很小。但如前所述,這完全又是另一條件機率。


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