SCIENCE書摘

數學變魔術

數字的規律彷彿玄妙的魔術,結果總是令人驚喜。

撰文/班傑明(Arthur Benjamin)
翻譯/王君儒

SCIENCE書摘

數學變魔術

數字的規律彷彿玄妙的魔術,結果總是令人驚喜。

撰文/班傑明(Arthur Benjamin)
翻譯/王君儒


我們從數字開始認識數學。在學校裡,我們用文字、符號或各種物體來表示並計算各種大小的數,再花費幾年用加減乘除或其他算術程序來運用它們。然而,通常我們還是沒有發現這些數字本身蘊涵的魔力,如果我們看得更深入一點,就會發現數字的各種組合能為我們的生活帶來樂趣。

讓我們從下面這道題目開始吧。在數學家高斯還是小男孩時,他的老師要全班同學把1~100的所有整數相加。這件冗長又單調的工作是讓小朋友有事情忙,可以讓老師有時間做些其他事情,然而教老師和同學吃驚的是,高斯立刻就寫下了答案:5050。他是怎麼做到的?高斯在腦海中把1~100拆成兩排(下圖),上面那一排是1~50,下面那一排則是倒序的51~100。高斯發現把上下兩排的50組數字分別相加,都會得到同一個總和:101,所以總數是50×101,也就是5050。


高斯後來成為19世紀最偉大的數學家,不是因為他的心算速度很快,而是因為他能夠讓數字在紙上起舞。接下來,我們會探討許多有趣的數字規律,並且開始看看數字如何跳起舞來!在這些規律中,有些能縮短心算過程,而有些只是這些數字單純的規律之美。

我們已經用高斯的邏輯來把前100個數字相加,但如果我們的目標是前17個、前1000個或前100萬個數字加起來呢?事實上,我們依然可以依照他的邏輯來得到前n個數字之和,其中n可以是任何你想要的數字!有些人認為如果能把這些數字視覺化,它們就不會那麼抽象。我們用1、3、6、10和15個圓點來排列出一些三角形(下圖),這些數字也稱為三角形數(對於一個圓點是否算是三角形或許有些爭議,但數字1的確被視為三角形數),而第n個三角形數的正式定義是1+2+3+……+n。


請注意,當我們把兩個三角形放在一起時(下圖)發生了什麼事?


這兩個三角形組成了一個六直行五橫列的長方形,共有30個圓點,因此組成每一個三角形的圓點數必定是總數的一半,也就是15個。當然,這點我們早就知道了,但這個論點顯示出,如果照剛剛那樣做,把兩個同樣有n列的三角形放在一起,將會得到一個n列以及n+1行的長方形,圓點總數是n×(n+1)個。因此,我們能導出一個前n個數字之和的公式:


看看我們剛剛完成了什麼:我們找到了一道能得到前100個數字之和的公式,並且推廣到能解決相同型式的所有題目。如果我們需要計算1~100萬之和,現在只要兩個步驟就能完成:把100萬乘以100萬0001然後再除以2!

一旦發現一道數學公式,其他公式通常也呼之欲出。例如,如果我們把上方公式等號兩邊的方程式都乘以2,我們就會得到一道前n個偶數之和的公式:


那麼,前n個奇數之和呢?讓我們來看看這些數字是怎麼說的:


等號右邊的數字都是完全平方:1×1、2×2、3×3……。顯而易見,前n個奇數之和的答案似乎都是n×n,通常寫為n2,但要怎麼確認這不是巧合呢?我們可以用其他方法導出這道公式,但如此簡潔的模式應該要有個簡單易懂的解釋。我最喜歡用「算算有幾點」的策略來形容它,這也可以說明為什麼我們稱25這樣的數字為完全平方,又為什麼前5個奇數之和等於52?讓我們來看看下面這個5×5的正方形。


這個正方形有5×5=25個圓點。不過讓我們用另一個方式來數數看,從左上方的那一個圓點開始,這一個圓點被三個圓點包圍,然後依序是五個、七個以及九個圓點,最後會得到:

1+3+5+7+9=52


若任選一個n×n的正方形,我們能把它分成n個大小分別是1、3、5、……、(2n-1)的L型區塊。當用這種方法檢視時,我們會得到前n個奇數之和的公式:

1+3+5+…+(2n-1)=n2


快速心算

有些人會看著這些數字規律說:「好,這樣是不錯啦,但到底能帶來什麼好處?」大部份數學家的回應可能會像藝術家一樣:「美麗本身便是它存在的價值。」而且越是深入了解這些數字模式,它們越是美麗。但不只如此,這些模式也能有實際應用。

看看像這樣的問題:

314+159

(用橫式來呈現計算式,這樣你才比較不會衝動拿出紙筆來算。)從314開始,先加上100,讓它變成一道比較簡單的題目:

414+59

把414加上50,題目就變成更簡單了,我們可以立刻算出:

464+9=473

這就是心算加法的基礎。此外,還有一個偶爾有用的方式,那就是我們可以把一道棘手的加法題目轉變成簡單的減法題目。這通常發生在我們相加商品價錢時,我們來算算看

$23.58+$8.95

由於$8.95比$9少$0.05,我們先把$23.58加上$9,再減掉$0.05,題目就會簡化成

$32.58-$0.05=$32.53

在心算減法時,最重要的概念是「多減再加回」。舉例來說,當要減去9時,比較簡單的方式是先減去10,再把1加回去。

83-9=73+1=74

當要減去兩位數或更大數字時,重要的是利用補數。一個數字的補數是它與下一位數的差值,對個位數的數字來說就是與10的差值(例如9的補數就是1),對兩位數的數字來說則是與100的差值。

在背好十十乘法表之後,你就能夠心算出任何乘法題目的答案了(至少會是大約的數值)。下一步是熟悉(但不是背起來!)你那些個位數與兩位數相乘的題目,關鍵在於從左至右來運算。舉例來說,當題目是8×24時,你應該先計算8×20,再加上8×4:

8×24=(8×20)+(8×4)=192

一旦你精通了這個方式,就可以來試試看個位數與三位數相乘的題目了。這會比較難處理一點,畢竟必須記住的數字比較多。但關鍵是要在過程中漸漸把數字加上去,這樣就不用一次記太多東西。

對我來說,樂趣正是從這裡開始,因為這些問題通常可以有很多不同解法,藉由用各種方式來計算問題,你也可以確認你的答案,並同時沉醉在結果一致之中!我將會用32×38這個例子來示範各種方法。

最為人熟知的方法(差不多就是你在紙上計算那樣)就是加法,這可以應用在所有問題。我們把其中一個數字(通常是位數較小的那一個)分成兩部份,然後分別與另一個數字相乘,再把結果相加,例如:

32×38=(30+2)×38=(30×38)+(2×38)

看看怎麼計算30×38?我們先算3×38,再把0放在最後,就像這樣:3×38=90+24=114,所以30×38=1140。然後2×38=60+16=76,所以

32×38=(30×38)+(2×38)=1216

另一個用來解決這個問題的方式(通常用在數字以7、8或9結尾時)則是減法,這裡我們先利用38=40-2來得到

38×32=(40×32)-(2×32)=1280-64=1216

利用加法或減法都會有同一個挑戰,就是在做分別計算時必須記住龐大的數字(1140或1280),這可能有點困難。我通常偏好在兩位數乘法時利用因數分解法,只要其中一個數值等同於兩個一位數相乘就可以使用這個方法。在這個例子中,我們看到32可以因數分解為8×4,因此

38×32=38×8×4=304×4=1216


來點幾何學的驚喜

我要給你看另一個可以做為魔術的幾何問題,請拿出一張紙,照著下列步驟進行。
第一步:畫個有四個邊的形狀,四邊彼此不能交叉(叫做「四邊形」)。然後把四個角依順時針方向標記為A、B、C、D(下圖)


第二步:把四個邊的中點標記為E、F、G和H。

第三步:把四個中點兩兩相連,連成一個新的四邊形EFGH(下圖)。


信不信由你,EFGH一定會是「平行四邊形」。換句話說,EF與GH平行且FG與HE平行。(除此之外,EF和GH的長度會相同,FG與HE也是一樣。)這一點可以從上圖看出來,不過你自己也可以試幾次。

幾何學充滿這樣的驚喜,在最簡單的假設中套用簡單的邏輯論,通常就能得到美麗的結果。現在我們用一組簡短的測驗來檢測你的幾何直覺,其中有些問題能夠憑直覺得到答案,即使你對幾何學已經有足夠的了解,有一些題目還是會令你驚訝。

第一題:有位農夫想要建造一個周長52英尺的矩形柵欄,若要得到最大面積,這個矩形的形狀應該為何?

一、一個正方形(每邊長13英尺)
二、比例接近黃金分割比1.618(大約長16英尺,寬10英尺)。
三、長邊越長越好(接近長26英尺,寬0英尺)。
四、以上三個答案得到的面積相同。


第二題:看看下圖兩條平行線,其中X點和Y點都位於下面那條線。我們希望在上面那條線找到第三點,讓這三點連成的三角形有最小周長,你該選擇哪一個頂點呢?



一、頂點A(在X和Y兩點中央的正上方)。
二、頂點B(由B、X、Y連成的三角形是一個直角 三角形)。
三、距離X和Y越遠越好(例如頂點C)。
四、不重要,每個三角形的周長都相同。

第三題:繼續用同一張圖,在上面那條線中找出一個P點,使X、Y、P連成的三角形有最大面積,請問P點應該在哪裡?

一、頂點A。
二、頂點B。
三、距離X和Y越遠越好。
四、不重要,每個三角形的面積都相同。

第四題:足球場上的兩個球門柱相隔360英尺,把一條繩子兩端各綁在足球場兩側的球門柱底部,通過球場中線繃緊的繩子長度為360英尺。如果把這條繩子加長1英尺,然後在球場中間舉起這條繩子(下圖),我們能舉得多高呢?

一、離地小於1英寸。
二、剛好能夠匍匐前進通過的高度。
三、剛好能夠走過去的高度。
四,高到可以開一輛卡車通過。





所有答案公佈在下面。

答案一:第一個選項。無論給定的周長是多少,若要得到最大面積的矩形,就應該四邊等長。因此,最理想的形狀是正方形。
答案二:第一個選項。選擇放在X和Y兩點中央正上方的頂點A,就能圍出有最小周長的三角形XAY。
答案三:第四個選項。所有三角形的面積都相同。
答案四:第四個選項。這條繩子在球場中央能被舉起的高度超過13英尺,足夠讓大多數的卡車通過。

我想前兩題的答案應該滿符合直覺,但另外兩題會讓大多數人驚訝!

─ 本文摘錄自《數學大觀念》第一章〈數字的魔術〉與第七章〈幾何的魔術〉。


小檔案 書名:數學大觀念── 從數字到微積分,全面理解數學的12大觀念
作者:班傑明(Arthur Benjamin)
譯者:王君儒
出版商:貓頭鷹書房(2017年3月)



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