科學史沙龍

數學家與他的時代

祖沖之的數學成就享譽中外,但如果卸下後人賦予的光環,把他放回時代脈絡之下,不僅可以看見「不一樣的祖沖之」,也能對數學史的演變有更深刻的認識。

撰文/高英哲

科學史沙龍

數學家與他的時代

祖沖之的數學成就享譽中外,但如果卸下後人賦予的光環,把他放回時代脈絡之下,不僅可以看見「不一樣的祖沖之」,也能對數學史的演變有更深刻的認識。

撰文/高英哲


台灣大學科學發展教育中心主辦的「科學史沙龍」,在去年4月10日移師華山文創園區,以中國古代數學家祖沖之為題,邀請台灣大學數學系教授張海潮以及台灣師範大學數學系教授洪萬生,從不同角度介紹祖沖之的數學成就與研究背景。


祖沖之如何測算冬至?


講座首先由張海潮以「祖沖之測算冬至」為題開場,選擇這個主題其實別有深意:科學發展向來先有天文,後因為測算的需要,再衍生出數學和物理學。如果能知道身兼天文學家與數學家的祖沖之如何運用數學技巧,解決精確測算冬至時刻的問題,將大為幫助我們了解古代數學的發展脈絡。


由於地球自轉軸與黃道面之間不垂直,導致一年當中每天晝夜時間長短有別:白晝最短及最長的那天分別定為冬至與夏至,晝夜時間長短相等的日子則定為春分與秋分。中國早在商朝就已經定出這二分二至,但是,張海潮認為當時人掌握分點的能力不好,因此以冬至做為一年之始,與古代西方以春分做為一年之始不同,張海潮謙虛表示自己的看法不是定論,現場徵詢聽眾的想法,大家也提出幾種可能的思考方向,反應相當熱絡。


當二分二至確定後,古人發展出二十四節氣,反映了四季中更細微的氣候變化。由於這是中國的傳統曆法,人們常先入為主,以為節氣依據陰曆來設計,但中國曆法其實是陰陽合曆,節氣是根據太陽運行的規律來制定,對應太陽在黃道上每運行15°所抵達的位置。


對曆法有正確的認識,就可以繼續探討古人如何測算節氣。中國古代測算二分二至使用的是「立竿見影法」:測量每日正午竿影的長度,夏至正午的竿影極短,冬至竿影則極長;早在周代就記載,官方在洛陽立起「表高八尺」的竿子,夏至晷長(竿影長度)16寸,冬至晷長135寸。然而立竿見影法有個實際的問題,就是晷長最長或最短的時刻,不一定正好落在測量當地的正午時分;反映在測量結果上,就會出現一種情形:冬至前後兩天正午測量到的晷長不一樣。


祖沖之如何測算出每年精確的冬至時刻呢?說來也簡單,由於竿影變化在短期內成比例,只要把這三天的晷長並列畫出,先從最短的那條晷長頂端,畫一條延長線通過冬至當天測得的晷長頂端,然後再從另一條晷長頂端,反方向畫一條相同斜率的線,兩條線的交會處就是「真正」的冬至時刻晷長。接下來只需要應用線性內插法,用一個簡單的除式就可推算出真正的冬至時刻。


這個方法的數學原理非常簡單,只需要基本的相似形概念、再拿根尺就可以求得答案。張海潮認為祖沖之厲害之處在於他想到這個方法,這樣一來每年都能夠找到精確的冬至時刻。累積多年的資料後,就可以確定太陽在黃道上運行回到同一點的「回歸年」長度,他也確實找到了答案:365.2428日。


就是因為祖沖之可以用這麼簡單的數學思維,解決生活中看似非常困難的問題,張海潮因此認為祖沖之是中國古代最偉大的數學家(但如果把時間尺度拉長到近代中國,祖沖之可能就要退居第二,把最偉大中國數學家的寶座讓給徐光啟)。


你所不知道的祖沖之


祖沖之的數學成就享譽中外。他的畫像曾出現在好些國家的郵票跟紀念幣上,顯見其數學地位受到肯定。不過,緊接著上場的洪萬生提醒聽眾,數學史是一門跨領域的學問,真正的數學革命很少見,因此,研究者通常以演變的角度看待數學史。既然是演變,對於歷史情境與脈絡的掌握,就是了解數學史的關鍵。若把祖沖之放在當時數學研究環境的整體脈絡下,就會看到一些「你所不知道的祖沖之」。


生活在南北朝時代的祖沖之,30歲出頭就已經完成圓周率的研究工作,並對《九章算術》做出註解。之後他投身官場,似乎希望藉由製作《大明曆》來獲得當時皇帝的青睞,從而在仕途上有所發展。這段時期為了與大臣戴法興辯論曆法所寫下的〈大明曆議〉,也成為中國古代科學爭議的見證。祖沖之在研究主題上厚此薄彼並不奇怪,我們從《顏氏家訓》一書的內容,就可以看出士大夫對於數學這類「雜藝」的態度。當時的人認為可以把數學當副業,千萬不可做為專業來鑽研。祖沖之在朝為官,想法也不例外。


要恰當理解古代的數學知識,洪萬生認為不但需要史識(也就是所謂的歷史感),也必須具備一定的數學洞察力。從數學史的角度來看,雖然祖沖之推算圓周率近似值的貢獻廣受西方數學家讚揚,不過,也許劉徽是更值得介紹的人物,因為祖沖之推算圓周率近似值以及推導球體積公式這兩大成就,都奠基在劉徽的《九章算術注》。很少人第一眼會注意到劉徽在《九章算術注》中對於圓周率的註解,儼然就是一段證明,在沒有電腦的時代能夠進行平方根計算並得到圓周率的近似值,著實是相當了不起的成就。


關於祖沖之與圓周率,洪萬生認為我們還可以提出更多有趣的問題:圓周率在中國數學史的脈絡下如何定義?祖沖之如何推算出圓周率的近似值?要如何賦予這些問題意義,也許法國大數學家龐卡赫說得最好:「科學由事實建構而成,就如同房子由石頭一塊塊堆起;但是蒐集一堆事實並不等於科學,正如同一堆石頭也不等於房子一樣。」洪萬生認同中國當代數學家吳文俊的看法:劉徽才是中國古代數學家第一人,祖沖之的成就主要來自於他站在劉徽這位巨人的肩膀上。


不過,就如同張海潮跟洪萬生都認同:我們評價歷史人物,不但仁智互見、因人而異,也會隨著時間而改變。「誰才是天下數學第一人」這種問題可以當做有趣的話題來討論,認定非某人莫屬則大可不必。與其執著這點,在討論過程中如果能對數學史發展有更深刻的認識,才是更重要的收穫。



本期講座請至Youtube搜尋:
你不知道的祖沖之、祖沖之測算冬至時刻

本文為台大科學教育發展中心的科學史沙龍講座報導,由英國約克大學經濟學碩士、台大科教中心長期合作寫手高英哲執筆。

科學史沙龍近期活動:
●2017/2/21(二)
「台灣數學教育發展史」
劉柏宏、單維彰


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