不可勝數

愛因斯坦看數學

愛因斯坦沒有選擇當數學家,但為了研究自然科學,仍必須掌握數學這個工具。

撰文/張海潮

不可勝數

愛因斯坦看數學

愛因斯坦沒有選擇當數學家,但為了研究自然科學,仍必須掌握數學這個工具。

撰文/張海潮


愛因斯坦一生對數學的體認,約可分為中學時期、大學時期和大學之後開創廣義相對論的三個階段。根據他在《愛因斯坦:哲學家–科學家》所寫的〈自述〉,在他11、12歲的時候,叔叔告訴他畢氏定理,他便自己利用直角三角形相似形的邊長關係,證明了這個定理。


愛因斯坦也談到12歲時,朋友塔爾梅(Max Talmey)給了他一本平面幾何小書,他認真自學,感受如下:


這本書裡有許多斷言,比如,三角形的三個高交於一點。它們本身雖然並不是顯而易見的,但是可以很可靠地加以證明,以至於任何懷疑似乎都不可能。這種明晰性和可靠性對我造成了一種難以形容的印象。


愛因斯坦的這段經驗許多人都有同感,但是出自一位12歲的少年,便顯得十分難得。〈自述〉中他又提到在16歲前已經自學了微積分,此項成就顯然十分重要,因為學會微積分,等於打開了學習物理的大門。


1896年,愛因斯坦進入蘇黎世瑞士聯邦理工學院學習物理和數學。這段期間,理論物理最成熟的是牛頓力學,其次是電磁學,可能因為純數學的發展更快,科目相對也比物理多一些。愛因斯坦在這裡遇到的是當時歐洲最傑出的數學家,他修過胡維茲(Adolf Hurwitz)開的微積分和微分方程,閔考夫斯基(Hermann Minkowski)開的數論幾何、變分法、偏微分方程和解析力學。雖然身處大師講堂,但愛因斯坦志不在此,一方面因為他對自然科學的高度興趣,另一方面則是他對純數學工作者的觀感。他在〈自述〉中說:


我看到數學分成許多專門領域,每一個領域都能費去我們僅有的短暫的一生。因此我覺得自己的處境像布里丹的驢子一樣,不能決定究竟該吃那一捆乾草。


他以此比喻,說明自己並無選擇數學議題的意願,然而大學之前的自學經驗又讓他對數學充滿自信。但為了自然科學的興趣而掌握必要的數學工具,與選擇特殊的研究議題而成為專業數學家,壓根是兩碼子事,愛因斯坦不想當驢子,完全可以理解。


不過1913年愛因斯坦提出廣義相對論後,對數學的看法卻大大轉變。1922年底,他在京都的演講談到:


如果所有的系統都是等效的,那麼歐氏幾何就無法全然成立。但是捨去幾何而留下物理定律,就好像捨去語言而留下思想。我們必須在表達思想之前找到語言,我們到底能找到什麼語言?一直到1912年的某一天,我突然想到解開秘密的鑰匙就是高斯的曲面論……不過那時我還不知道其實黎曼已經為幾何立下了更深刻的基礎……我終於認識到幾何學的基礎在物理上的重要性……我問我的朋友(葛羅斯曼),黎曼的理論是否能解答我的問題。


為什麼黎曼幾何在時空的研究中如此重要?在牛頓的時代,時間和空間是分開的概念,空間中的許多現象都是以歐氏幾何為基礎來理解的,這樣的理解可以充份涵蓋慣性坐標系的概念。但到了愛因斯坦,時空已糾結成了一個四維的連續體,再加上所謂的「等效原理」把重力場等同於加速度場之後,物理定律的考量不能只限於慣性坐標系。簡單的說,一旦開始考量一般的坐標變換,就必須走出歐氏幾何,迎向一個更寬廣的幾何概念。這個新的幾何概念發端於高斯的曲面論,再由黎曼推廣到一般空間。


在經歷了嶄新的數學體驗之後,愛因斯坦已能夠自在使用黎曼幾何所發展出來的一套他稱為「張量分析」的計算方法,這方法之於廣義相對論就如同微積分之於牛頓力學一樣自然。


愛因斯坦一生從未發表任何數學論文,他所關心的是物理問題,但他對黎曼幾何(微分幾何)的貢獻可能超過當代許多幾何學家,因為他的研究告訴我們如何透過物理來認識幾何,闡明了古典歐氏幾何和近代微分幾何在理解物理時所扮演的角色。


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