不可勝數

時鐘問題,小兵立大功!

小學生不知為何而學的時鐘問題,竟然可以用來計算火星繞日週期!

撰文/張海潮

不可勝數

時鐘問題,小兵立大功!

小學生不知為何而學的時鐘問題,竟然可以用來計算火星繞日週期!

撰文/張海潮


在1956年台灣九年國教實施之前,小學畢業生必須考過聯考才能進入初中。當時許多學校都實施「惡補」,大量的參考書應運而生,其中一本《圖解算術》最是有名。


《圖解算術》集結了一堆難題,比方說雞兔同籠或和差問題,有的可以用畫圖來幫助解題,不過大部份的題目即使對小學老師而言,也太超過,其實應該擺在初中的代數課程裡。這些難題中,讓當時還是小學生的我印象最深刻的是時鐘問題。時鐘問題主要是問在什麼時刻,長針和短針會重合。例如,12點以後,第一次重合發生在幾點幾分?


我無師自通想了一個辦法,就是把長針看成是長腳哥哥,短針看成是短腿弟弟。兩人在12點出發,長腳每走一格(代表一分鐘),短腿只走1/12格,因此長腳比短腿多走11/12格。長腳若要追上短腿需要多走60格,因此需時60 ÷ (11/12) = 65又5/11 分才能再度重合,重合的時刻是1點5又5/11 分。


這個絕招可以解遍所有長短針重合的問題。當年,我甚至把家裡的鬧鐘帶到學校,用手動來驗證我的計算。老師也默許我上課做實驗,因為畢竟所有的答案都有11的分母,這在鐘面上是看不出來的。


事隔多年,有一天我翻閱《大美百科全書》,在「太陽系」這個條目突然看到克卜勒如何利用前後兩次太陽、地球和火星三連星的間隔780天,來推算火星繞日週期是686天。


話說克卜勒相信哥白尼的日心說,一心想分析火星繞日的軌道。但由於身居地球,要將地球上所見轉換到以太陽為中心的坐標系談何容易。他從第谷留下的資料看出兩次三連星的間隔是780天,於是想到可以用來計算火星繞日的週期。


這不就是一個倒裝的時鐘問題?我們不妨把繞太陽轉得較快的地球想成長針,把轉得慢的火星想成短針。我們以圈為單位,地球每一天轉1/365圈,火星每一天轉1/T圈,T是火星繞日的週期。每一天,地球比火星多走1/365–1/T圈,因此兩次三連星的間隔天數780=1/(1/365–1/T)。這是一個簡單的方程式,可以解出T約等於686天,與現代所測接近。


克卜勒隨後將從地球所見的火星方向每隔686天做成一組加以分析。由於前後間隔686天時,火星會出現在同一個位置,而地球卻分居軌道上不同的兩點,因此會觀察到兩個不同的方向。再將這兩次觀察得到的方向延伸出去,相交之點,就是火星的位置。《大美百科全書》提到克卜勒曾經據此在紙上繪出數百個火星的位置,從而大膽猜測火星繞日的軌道是橢圓,太陽位居一焦點。


類似的想法還可以應用在計算兩次月正中天的時間差。以台北來說明,月正中天代表地心、台北和月亮處於「三連星」的狀態。由於台北繞地心一圈是24小時,所以每小時轉1/24圈,月亮繞地一圈是29.53天,換算成小時,每小時繞地1/(24 × 29.53)圈。因此下一次三連星的時間差就是1/(1/24-1/(24x29.53))或24 × (29.53/(29.53-1))小時。答案是24.84小時或是24小時50分。換句話說,每一天月正中天的時刻會推遲50分鐘。


看看2010年中央氣象局出版的天文日曆上怎麼說?氣象局所指的月正中天,是月亮在東經120°線正上方的時刻,它所預測的幾個時間為:1月4日是02:52、1月5日是03:44、1月6日是04:33、1月7日是05:21。每一天推遲的時間分別是52分、49分、48分,與前段計算的50分鐘大致吻合。


雖然上述的計算都預先做了等速圓周運動的假設,所得結論也只是大致準確,但只用簡單的想法就能貼近真實、對現象做出合理的分析。小學生不知為何而學的時鐘問題看似無用,然而因為在解題方法上的超越性,反而可以用來處理火星運動的週期和預測月正中天的時間。換句話說,時鐘是表,火星是裡,這種能夠「由表及裡」的數學,當然是好的數學。


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