不可勝數

就算是排列,也該有些章法

想讓數學受到社會組師生的重視?編寫教材時不妨從電腦的觀點出發。

撰文/李國偉

不可勝數

就算是排列,也該有些章法

想讓數學受到社會組師生的重視?編寫教材時不妨從電腦的觀點出發。

撰文/李國偉


2010年大學招生指定科目有163個社會組科系不採計數學,其中最引人注目的是居龍頭地位的台灣大學外文系。有些學者憂心如此一來,恐怕不容易培養學生邏輯推理的通識能力,但有些高中校長卻為台大外文系拒絕採計數學的勇氣喝采,認為這樣能減輕學生升學負擔,也更符合課程綱要設計。


台大外文系主任在接受訪問時強調「不採計數學成績並不表示輕視邏輯思維,而是數學本身難以完全反映學生在邏輯、智商等方面的能力。」由於我們通常把數學當做訓練邏輯思維的最有效方法,因此系主任的見解似乎挑戰了中學生要充份學習數學的主張。


其他學科並非不能訓練學生邏輯能力。譬如研讀歷史或討論社會事件,難道不需要明晰的邏輯嗎?數學之所以被凸顯出來,主要是因為它依賴的經驗知識最少,所以自古希臘而下,數學都是教育學子思想明晰的利器。不過時至21世紀的今日,電腦也能提供與數學相當的邏輯訓練。如果學生自己設計演算方法,並且動手編寫程式,就會深深體會到電腦是徹徹底底的邏輯機器,任何思路上的模糊都會使目標難以達成。


以電腦廣泛的應用面來看,即使外文系應該也不會反對增進學生理解與運用電腦的能力。因為電腦的理論基礎主要建立在數學之上,所以在編寫高中數學教材時,應該盡量照顧到發揮電腦特色的觀點。這種觀點的核心在於演算法的程序性,也就是說所處理的物件,必須按照明確的步驟建構起來。古典數學中使用歸謬法雖然可以證明物件的存在,但是缺乏具體顯示物件是如何存在的方法,就會使電腦英雄無用武之地了。


以照顧程序性的觀點來看目前高中數學教科書的編寫,就會讓人感覺有很大的改善空間,現在舉一個基本的例子來檢討。把物件按一定規矩排成順序,是電腦裡幾乎無時不在運用的技巧,它的數學基礎就是高中學的「排列」。現在高中課本會大同小異地會採取下面的講法:把n個物件排成一直線,第1個位置可以從n個物件裡隨便選一個來放,第2個位置就可以從剩下的n-1個物件裡隨便選一個來放,如此類推而下,再用所謂「乘法原理」,排列方法的總數便是n × (n-1) × ...... × 2 × 1。


通常書本裡會列出3個物件所有的6種排列,但是很多老師不會叫學生練習列出4個物件的24種排列。至於會讓學生寫出5個物件120種排列的老師,恐怕是鳳毛麟角了。這種類似教公式的講法有兩項弱點:首先,學生缺乏動手的經驗,難以感受隨著物件漸次增加,排列總數卻以驚人的加速度爆發。其次,學生雖然學會記誦排列的總數,卻不知如何有條有理地枚舉所有的排列。


其實有很好的方法可逐步列舉所有的排列。基本的構想就是當n-1個物件排好後,第n個物件就可以依次插入那n-1個物件的頭、尾,以及中間諸空隙裡。在演算法裡,由強生(Selmer Johnson)與卓特(Hale Trotter)各自獨立發展出的列表法,不僅實現了這種構想,而且附帶可使相鄰兩個排列差異很小。


讓學生獲取物件數量爆發的經驗認知,會使學生體會設計良好演算法的必要性。讓學生養成有條有理枚舉物件的習慣,即使是將來學習人文或社會學科的學生也會受益良多。高中即將實施新的課綱,但是課綱不可能規定教科書編寫的每一個細節,寫書的專家必須對於電腦程序性的要求有所警惕,才會對類似「排列」這種古老而基本的題材,給予符合電腦精神的新講述方式。如果高中數學教科書能落實這種寫法,而且教學時又能強調程序性,再要求指定考試社會組採計數學,就更為合理了。


摘自科學人雜誌2010年2月號 第 96 期



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