SCIENCE書摘

超乎你想像的數學問題

以下的問題出自牛津大學的入學口試,沒有標準答案!

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超乎你想像的數學問題

以下的問題出自牛津大學的入學口試,沒有標準答案!

 


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書名:和牛津‧劍橋新鮮人一起思考:60個絕妙問題,激發你的創造力(Do you think you're clever? The Oxford and Cambridge Questions)

作者:方頓(John Farndon)

出版商:圓神出版社(2014年2月)


Q:我是石油大亨,要將油送到四個恰好連成一條直線的城鎮。每次造訪完一個城鎮後,我得回到油槽加油。該把油槽建在哪裡,才能以最短的距離造訪各處?鋪路不是問題,因為我有個阿拉伯酋長朋友,只要開口,他就會出錢替我鋪路。(牛津數學系)


  這個問題乍看簡單。或許會認為油槽應該蓋在直線上,位於中間兩個城鎮的中心點上。若每個城鎮相隔一公里,有兩個城鎮需一公里來回,兩個城鎮三公里來回,一共八公里。不過,直覺也有出錯的時候。為了要證明答案的正確性,數學家想出一些複雜而重要的問題。這類問題稱為最優化或最佳化的問題,也就是找到最佳答案,如最短的路徑或最理想的結構。


  最短距離的問題總是讓數學家著迷,這不僅是個幾何學上的難題,也是個很實際的問題。我們要找的油槽地點,就是數學上所謂的中點,給出一組點的位置,中點就是到各點距離最短的點。


  17世紀,法國數學家費馬向托里切利提出類似的問題。托里切利是義大利人,發明了氣壓計。費馬的問題是,已知三個點,如何找出一個點,到三點的距離為最短。托里切利聰明解答了這個問題,這個點現在就稱為費馬點或托里切利點。(德國經濟學家韋伯,也是全球化理論的先驅,在他1909年發表的工業區位論文中,也討論了這個問題,也稱為「費馬–韋伯」問題。)


  如何找出與三個點距離最短的點,是由費馬研究出來的。如何找出四個點的幾何中點,則由義大利傑出的牧師及數學家法拉諾於1750年解答出來。法拉諾的解答:如果四邊形是凸四邊形,費馬點就是兩條對角線的交點;若是凹四邊形,費馬點就是凹進去的那一點。


  現在數學家已經知道,當幾個點不是一直線時,這幾個點的幾何中心點只有一個。而當這些點都在直線上,也就是「幾點共線」,幾何中心就是中點。中點即是總數除以二。在油槽問題中,答案恰巧符合我們直覺,中央兩個城鎮之間的中點。


  有趣的是,最佳位置不單是幾何問題那麼簡單,因此又引出「網絡理論」。這個數學分科近年來引起廣泛的關注。大家發現,網絡理論似乎可以解釋世界運作的組織原則。只要想得到的地方,就有網絡。人脈是網絡,網際網路也是網絡;轉運點形成網絡,生態系統形成網絡。電腦就是依此運作。最教人興奮的是,跨學科的學習也是一種網絡,比方說把生物學上的知識用到經濟學上。


  拿最近的金融危機來說,經濟學家如蓋迪和斯蒂格力茨,便開始用網絡理論來解開金融業的難題。他們認為銀行有如金融網絡的集線器,當集線器失靈時,隨即拖垮整個網絡。所以網絡經濟學家到生態食物鏈尋求答案,因為食物鏈已經進化出應付危機的好辦法。好比說,與周邊關聯的物種,通常少與有關聯的物種連接。一種昆蟲可以為多種植物傳授花粉,但是每一種植物卻只能由一類或少數幾類昆蟲來授粉。藉由這種辦法,就算有眾多連接的昆蟲遭受了大災難,整個網絡所受的影響卻非常有限。


  法國聖母大學網絡研究計畫主持人巴拉貝西認為:「商業經濟的網絡大到令人咋舌。有政策網、所有權人網、合作夥伴網、組織企業網、行銷網,什麼想得到的名目,都有網絡。幾乎不太可能把不同的網絡整合到一個包羅萬象的網絡體系。然而,不管是哪個層級組織,我們總能看見充滿活力、自然形成的網絡。」


Q:你有一個三公升和五公升的水桶,請量出四公升的水。(牛津數學系)


  拜電影「終極警探」之賜,這個問題廣為人知。電影中,在大惡棍的命令下,麥克連和宙斯要拆除一個炸彈,在拆炸彈之前,他必須用一個三加侖的水桶與五加侖的水桶,量出四加侖的水來(電影上是加侖,不是公升)。他們即時解開難題:第一先加滿五加侖的水桶,然後把五加侖的水倒進三加侖的水桶裡,剩下兩加侖的水在五加侖的水桶中,然後把三加侖的水桶清空,把五加侖水桶中剩下的兩公升水倒入三加侖的水桶裡,然後再加滿五加侖的水桶,往三加侖的水桶裡加滿,這時五加侖的水桶剩下的水就是四加侖。就這樣!


  這個問題不是太難,你可以直接看出答案,編劇顯然挑了一個大多數觀眾可以解出的問題,就算解不出來,至少也看得明白。但這卻是一個古老的數學問題,基本的解題構想就是互質數相減。


  如果兩個數之間唯一的公因數是1,這兩個數就是互質數。成為互質數的兩個數未必是質數,但是它們之間唯一的公因數是1。比方說,15和16,兩個數都不是質數,但是它們卻是互質數,而15和21則不是,因為它們可以被3整除。


  歐幾里得早在2300多年前,就解決了類似電影裡的互質數問題。證明的過程很複雜,但是算法卻相對簡單,可以讓我們解決其他此類問題。


  這些解決方案可以用數學方程式來表示。如果兩個測量容器分別是p和q,用下方的方程式就可以找出你需要量測的k值。在方程式中,m是需要加滿或倒出量器p的次數,n則是倒出或許加滿q量器的次數。


  mp+nq=k


  如果m或者n是負的,表示是要倒出量器內容物,如果m或者n是正的,意思是加滿量器。在電影裡,p是3,q是5。所以,m是正3,n是負1。


  3×3+(-1)×5=4


  也就是說,三加侖的桶裝滿三次,五加侖的桶倒出一次,就可以得到四加侖的水。或者,也可以m為負2,n為正2,把三加侖的桶倒清兩次,五加侖的桶倒滿兩次。


  -2×3+2×5=4


  這兩個方法和麥克連的方法不一樣,而且需要有第三個大容器來儲水,但一樣是有效的解答。