不可勝數

祖沖之數學算冬至

利用對稱概念,也可以精準測算冬至點!

撰文/張海潮

不可勝數

祖沖之數學算冬至

利用對稱概念,也可以精準測算冬至點!

撰文/張海潮

地球在公轉軌道上有四個關鍵的位置:春分、夏至、秋分和冬至。古代西方是以春分到下一次春分定為一年,稱為回歸年,而中國則是以冬至到冬至定為一年,稱為歲實。這兩個定法其實是一樣的,根據現在的數據,一個回歸年是365.2422天。

最近在《中國天文大發現》(山東畫報出版社)一書中看到南北朝時代的天文兼數學家祖沖之(公元429~500年)測出歲實是365.2428日,方法之巧令人佩服。祖沖之在古代數學家中是一個指標性人物,能測算極精準的圓周率,又懂得球體積公式,他是如何測算冬至點呢?

古代中國是利用「立竿見影」,測量每天正午日照竿影的長度來看太陽位置的變化,測得的影長稱為晷長。假想在台北立好竿子,由於夏至時太陽直射點到達最北(即北回歸線),這一天晷長最短,冬至時太陽直射點到達最南(即南回歸線),這一天晷長最長。如果由夏天到冬天,再由冬天到夏天逐日記錄,會發現晷長先遞增再遞減。

但是由於「冬至點」指的是冬至那天太陽直射點到達最南的一瞬間,以2014年冬至12月22日為例,冬至點發生在南太平洋海上某處的12點,台北時間是早上7點。那麼台北這幾天正午所測得的晷長會如下圖:

12月21日到22日的晷長增加,12月22日到23日變短,但12月22日的晷長卻不是冬至點的長度,亦即冬至點的瞬間是在12月21日正午到22日正午之間。

我們注意到,與冬至等時距的前後兩個時間點,晷長必須相等。所以如果12月21日正午的晷長比23日的長,則冬至點一定發生在12月22日正午之前。如此我們就要問:如何知道冬至點比12月22日正午要早多少時間呢?

【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2015年第155期1月號】