形上集

隱密的方程式與隱密的對稱(三)

規範對稱與一般對稱有本質上的差異。

撰文/高涌泉

形上集

隱密的方程式與隱密的對稱(三)

規範對稱與一般對稱有本質上的差異。

撰文/高涌泉

據說,現代物理學之父伽利略曾講過這麼一段話:「宇宙之書是用數學語言所寫的,其字母是三角形、圓形及其他幾何形狀;如果不借助於這種字母,我們不可能了解其中任何一句話,只能在黑暗的深淵中瞎摸。」這段話後來廣為流傳,大家都很佩服伽利略的遠見。不過今天回頭看,無論伽利略如何高瞻遠矚,他終究還是在談各種看得見的「幾何形狀」,尚未能預見其背後還有著更為抽象的「運動方程式」,如要深刻了解宇宙,就必須從這些看不見的方程式下手。

我在上期「形上集」說明了,天體的運行具有旋轉對稱,但這不是從具象的行星軌跡(橢圓)看得出來的,只有進入方程式的層次,才能知曉這一點。如今物理學家已經了解,除了重力,其他所有基本交互作用,即電磁、強、弱等交互作用,也都具有旋轉對稱;也就是說,描述這些基本作用力的方程式在坐標旋轉之下,其形式會維持不變。

在旋轉對稱之外,基本交互作用方程式還具有其他對稱,例如時間平移對稱、空間平移對稱、鏡像對稱(弱作用除外)、(電)荷共軛對稱(弱作用除外)、勞侖茲對稱等。上述最後一項指的是在狹義相對論的勞侖茲坐標變換之下,方程式的形式維持不變。

20世紀初,被愛因斯坦譽為最有創意的女數學家諾特爾證明了一個極重要的定理:每一個連續對稱都對應到一項守恆律;例如時間平移對稱對應到能量守恆律、空間平移對稱對應到能量守恆律、旋轉對稱對應到角動量守恆等。對稱與守恆律的密切關係在此之前從未被明確點出,例如儘管牛頓在《自然哲學的數學原理》中已經證明,任何連心作用力(如重力)都會導致角動量守恆(克卜勒的等面積定律即是角動量守恆律),但諾特爾卻進一步揭示,對於角動量守恆而言,「連心力」的意義其實在於其相對應的位能具有旋轉對稱。在諾特爾之後,對稱與守恆律成了一體的兩面,兩者的關係是現代物理學之重要基礎。


到目前為止,我還沒提過「規範對稱」這個熟悉一點現代物理的人都可能聽過的名詞,原因是規範對稱與前面提及的各種對稱在本質上完全是兩回事。要解說其差異得從光的性質講起:馬克士威告訴我們光是電場與磁場相互感應振盪所產生的電磁波,而且電場、磁場以及光前進的方向,三者相互垂直,亦即光是所謂的橫波。我們可以根據電磁場振盪的方式,把光區分成右旋偏振光與左旋偏振光兩類(見圖一;另一種分類方式是把光區分成垂直(y)偏振光與水平(x)偏振光)。用場論的語言講,光具有兩個獨立的場自由度。在電磁學的數學架構中,我們知道用一個向量位勢場來描述光是最佳方式,而一個向量位勢場具有三個空間分量(因為空間是三維的);以朝著z軸前進的電磁波為例,我們可以把這三個分量看成是垂直於z軸的兩個橫向分量以及一個平行於z軸的縱向分量。



現在問題來了,既然光實際上只有兩個橫向的場自由度,那麼多出來的縱向分量該怎麼處理?答案是我們應該把具有不同縱向分量的向量位勢看成是同一回事,也就是它們都對應到相同的物理狀態。用物理術語講,一個向量位勢在「規範變換」之下會改變其縱向分量大小,這兩個縱向分量不同的向量位勢都是電磁場方程式的解,但它們在物理上是不可區分的。有這樣性質的理論稱為規範場論。楊振寧曾用圖二來說明這種狀況。

【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2014年第145期3月號】