形上集

隱密的方程式與隱密的對稱(二)

運動方程式的出現意味著自然現象遵循著看不到、摸不到的數學規律。

撰文/高涌泉

形上集

隱密的方程式與隱密的對稱(二)

運動方程式的出現意味著自然現象遵循著看不到、摸不到的數學規律。

撰文/高涌泉

被愛因斯坦稱為「現代物理學之父」的伽利略出生於1564年,比克卜勒年長七歲;兩人雖是同一時代的人,卻從未相會,但因為都信仰當時被視為異端的哥白尼日心說,而有過書信往來,互通研究心得。當克卜勒正全力探究天上行星的軌道之際,伽利略所關心的是地面上物體的運動規律;伽利略藉由觀察與高明的想像實驗,提出「慣性原理」,指出物體如果沒有受到外力作用,將會維持原有的運動狀態:靜止的物體維持靜止,運動中的物體將沿著原來方向以原有速率持續運動下去。若沒有伽利略的慧眼與大力鼓吹,流傳了1500年以上的亞里斯多德運動學(除非有外力推動,不然物體不可能永遠不停地運動下去)不知還會錯誤地延續到何時。

如果慣性原理也適用於天上的行星,而行星的軌道顯然不是直線,那麼行星必然受到某種外力作用,在這樣的推論之下,衍生的問題即是:行星到底受到什麼樣的力才會沿著克卜勒發現的橢圓軌道前進?這個問題得等到牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中提出完備的力學體系之後,才有完整的答案,那時距伽利略過世已45年。

既然慣性原理意味著外力會改變物體的運動狀態,牛頓便假設物體速度的變化(即加速度)和所受外力成正比,而比例常數就是(慣性)質量,以數學語言表示,這就是大家熟悉的運動方程式F=ma,即力(F)=質量(m)×加速度(a)。牛頓強過他人(例如對手虎克)的本事之一,就是能夠用他高明的數學能力,由克卜勒歸納出來的行星繞行太陽的位置與速度(克卜勒行星運動定律)推算出行星的加速度,從而證明行星加速度的大小與行星和太陽的距離平方成反比,並且其方向是指向太陽。一旦我們得知加速度,配合上運動方程式,就得知行星所受的力是所謂的「向心平方反比力」,亦即行星受到太陽所施加的平方反比引力。


反過來,牛頓也能證明若行星受到向心平方反比力的作用,那麼無法脫離太陽系的行星之軌道必然是橢圓形的。這就是運動方程式的威力:只要我們掌握了物體所受的力,以及物體在某一時刻的位置與速度(即初始條件),就可以算出物體於爾後任何時刻的精確位置與速度。




運動方程式的出現是物理的重大里程碑,它意味著人類感官能夠察覺的自然現象其實遵循著看不到、摸不到的數學規律。這麼一來,我們就不應該輕率地認定只因為橢圓這個幾何圖形不具旋轉對稱,行星軌道便與對稱無關。事實上,如果我們把橢圓旋轉一下(見圖一),所得到新橢圓軌道仍然滿足行星運動方程式,也就是說,儘管運動方程式的某個解也許無法呈現對稱,但是這個解經過旋轉變換,也還依然是運動方程式的一個解,亦即運動方程式的不同解(物理狀態)能夠用旋轉變換聯繫起來。楊振寧曾經用圖二來說明這種情況(圖中所指的對稱並不限於旋轉對稱)。請注意,這種情況並不能夠無條件發生,它成立的條件是物體所受的力都指向座標原點(橢圓焦點),而且其大小只取決於物體與原點的距離,原因是此時系統的位能只與物體到原點的距離有關,而與物體的方位(角度)無關,因此位能在旋轉之下不變。(我們有時也因此說重力具有旋轉對稱。)

另一種等價的說法是若我們把座標旋轉一下,運動方程式在新座標的形式會維持不變。無論如何,我們應該從(抽象的)運動方程式的層次去考量旋轉對稱,而不是去在意實際的軌道是否是完美的圓形。

【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2014年第144期2月號】