解謎遊戲

你有多後悔?

要如何付費才能最省錢,讓「後悔率」降至最低?

撰文/夏沙(Dennis E. Shasha)
翻譯/翁秉仁

解謎遊戲

你有多後悔?

要如何付費才能最省錢,讓「後悔率」降至最低?

撰文/夏沙(Dennis E. Shasha)
翻譯/翁秉仁

你開始打壁球,準備在健身俱樂部大展身手。俱樂部收費有兩種方式:會員制,一年400元;計次收費,每次20元。你準備一週打幾次球,不過你的身子容易受傷,而且一受傷這輩子就別想再碰壁球了。如果有個神仙在,他會未卜先知,告訴你會不會受傷、何時會受傷,這麼一來,你就能找到最省錢的辦法,決定要申請會員還是要計次付費。可惜你沒有天眼通,因此得想個法子,把自己的「後悔率」降到最低。後悔率的定義是:將你實際付的錢,除以如果有神仙忠告的話你會付的錢。


舉例來說,如果一開始,你就申請當會員,卻在第一天就掛彩,你的後悔率就是20——也就是年費400元,除以20元(一次計次收費的價錢)。或者,如果你決定整年都計次收費,結果到了第100次才受傷,這時你的後悔率是5——你付的2000元,除以神仙會忠告你的400元。



【暖身題】
請問你有辦法讓你不管何時受傷,後悔率總是不超過2?


【暖身題解答】
先計次收費19次,再申請年度會員。如果妳在前19次就受傷,後悔率是1。如果之後才受傷,後悔率是1.95。



套句數學家的行話,這類的問題稱為競爭分析。下面是進階題

假如你有90張可以兌換現金的彩票。在彩票兌換亭內,兌換人的櫃上有一疊參雜1元和5元的鈔票。如果你跟他兌換彩票,他就直接拿這疊鈔票的最上面一張跟你換,依此往下類推。你有權拒絕兌換1元的鈔票,因為跟在後頭的可能是5元的鈔票(在這種情況,你可以保留彩票,兌換人則把1元鈔票丟一邊去,不再回鍋)。不過,兌換人也有權隨時停止交易。交易一結束,你這堆彩票就一文不值了。


神仙可以預知鈔票的排列順序,也知道兌換人何時會結束交易,你就沒這本事。請問你可以找到策略,讓你的後悔率(現在是靠神仙忠告贏的錢,除以你實際贏的錢)不大於1.8嗎?如果鈔票改成1元與100萬元,你的策略會怎麼改變?後悔率是變低還是變高呢?



【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2003年第16期6月號】