不可勝數

質數的缺席

欠缺「原子論」思想,或許是質數在中國傳統數學缺席的因素之一。

撰文/李國偉

不可勝數

質數的缺席

欠缺「原子論」思想,或許是質數在中國傳統數學缺席的因素之一。

撰文/李國偉

今年國際數學界最轟動的新聞,應屬中國留美學者張益唐在孿生質數問題上所做的突破。一個自然數是質數(也稱為素數)的條件如下:它不等於1,而且除了1與自己之外,不會被別的自然數整除。全體質數可以從小到大排成2, 3, 5, 7, 11, 13......,而排在第n個位置的質數通常記做pn。如果pn與pn+1相差為2,則稱(pn, pn+1) 為一對孿生質數,例如3與5,5與7,11與13。孿生質數問題就是問:這樣的質數對是否有無窮多個?張益唐的大突破是證明pn與pn+1相差不超過7000萬的質數對有無窮多個。自從5月中旬他的成就在國際媒體上廣為流傳之後,世界上很多數學家努力要把7000萬的差距拉近,目前已經縮小到4680。

一般人可能會好奇地問,張益唐的結果有什麼用?這裡「用」當然是指實際的應用。其實,他的成果目前還只有純學術價值,與國計民生毫不相干。自從古希臘人辨識出質數,其後2000多年的時間裡,除了數學家關心質數外,質數一直缺乏任何應用價值。20世紀末發現連電腦做整數的質因數分解也超級困難後,才利用這種特性製造出幾乎無法破解的密碼系統。一個基本的數學概念,經歷了2000多年的滄桑,才顯現出它的實用價值。因此,我們不得不佩服希臘人研究質數的真知灼見,並且感嘆18世紀前的中國傳統數學裡卻不見質數的蹤跡。質數為什麼會在中國缺席?實在是令人費解的問題。

歐幾里得的《幾何原本》約在公元前300年左右成書,是古希臘數學集大成之作。第七卷使用幾何的觀點來理解「數」,也就是從「單位」的概念出發,以度量直線段的方式引入「數」。第七卷定義2說「一個數是由許多單位合成的。」因此,1代表單位而不算做「數」。定義11說「質數是只能為一個單位所量盡者。」定義16說「兩數相乘得出的數稱為面,其兩邊就是相乘的數。」所以質數只能是線,而不能稱為面。從這些定義可看出來,古希臘人所謂的「數」不是抽象的、獨立的概念,「數」必須依附在幾何體系上而得以操作。中國古代缺乏像《幾何原本》這種按照邏輯次序鋪陳的數學書,通常是以解決問題的風貌來書寫,因此不太可能探討與闡述「數」的純粹性質。例如,以《九章算術》為代表的中國古代數學書裡,雖然數字是與矩形、直角三角形的面積緊密相聯結,卻仍然沒有像希臘人那樣發現,有些數是可以表現為面,而有些數卻不可以。

【欲閱讀完整內容,請參閱科學人2013年第140期10月號】